3.2.1 地圖投影基本問題

地圖投影的基本問題是怎樣把地球表面（橢球面或球面）表示在地圖平面上。由于地球的橢球面或球面是不可展曲面，即不能展開成平面，而地圖又必須是平面，所以把地球表面展開成地圖平面必然會產(chǎn)生裂痕或褶皺。那么用什么樣的數(shù)學(xué)方法才能使曲面展開成平面，使誤差最小呢？就必須采用地圖投影的方法，即用各種方法把地球表面上的經(jīng)緯網(wǎng)格線投影到地圖平面上。不同的投影方法，其投影變形具有不同的性質(zhì)和大小。因此，在建立各種地理信息系統(tǒng)的過程中，選擇合適的地圖投影系統(tǒng)是首先必須考慮的問題。

投影，在數(shù)學(xué)中是指兩個(gè)面之間的點(diǎn)與點(diǎn)、線與線的對應(yīng)關(guān)系。同樣，地圖投影的定義就是在地球橢球（或球體）表面與地圖平面建立一一對應(yīng)關(guān)系。

（公式 3-1）

假設(shè)地球表面有一個(gè)點(diǎn)A

,λ),

其在平面上的對應(yīng)點(diǎn)為Aˊ(X, Y)，根據(jù)地圖投影定義，其數(shù)學(xué)變換公式為：

3.2.2 地圖投影的變形

地球表面是不規(guī)則的曲面，即使把它看作是橢球面或完美的球面，也是數(shù)學(xué)上無法展開的曲面。這樣的曲面如果用平面來表達(dá)，就會產(chǎn)生裂縫或褶皺。在投影面上，通過“拉伸”或“壓縮”經(jīng)緯線（通過數(shù)學(xué)手段）來避免這種情況，這樣就能形成完整的地圖，這就產(chǎn)生了變形。地圖投影的變形通常可以分為長度、面積和角度變形三種，其中長度變形是其他變形的基礎(chǔ)。為了進(jìn)一步理解地圖上的變形，你應(yīng)該知道以下幾個(gè)術(shù)語及其定義。

長度比——差動線段在地面上的投影長度ds'與其對應(yīng)的實(shí)際長度ds之比。若用符號μ表示長度比，則

μ=ds′/ds （公式 3-2）

長度變形——長度比與1的差值。如果用符號Vμ來表示長度變形，則

Vμ=μ-1 （公式 3-3）

投影上的長度比不僅隨該點(diǎn)的位置而變化，而且隨該點(diǎn)的不同方向而變化。這樣，在某一點(diǎn)處的長度比必有一極大值和一極小值，這個(gè)極小值稱為極端長度比，通常用符號a和b分別表示最大和最小長度比。極端長度比的方向稱為主方向。沿經(jīng)度方向和緯度方向的長度比分別用符號m和n表示。在經(jīng)緯度正交投影中，沿經(jīng)度方向和緯度方向的長度比即為極端長度比，此時(shí)m=a或b，n=b或a。

面積比——地面上的微分面積投影dF'與其對應(yīng)的實(shí)際面積dF之比稱為面積比，通常用符號P表示，即

P=dF′/dF （公式3-4）

面積變形——面積比與1的差值。用符號Vp表示，則

Vp=P-1（公式3-5）

（公式 3-6）

角變形——某一角度在地面投影后的角度值β′與其實(shí)際角度值β之間的差值。即β′-β。在某一點(diǎn)，方位角的變形隨方向不同而變化，所以某一點(diǎn)不同方向的角度變形不同。在投影中，某一點(diǎn)處的角度變形的大小以其最大值來衡量，稱為最大角變形，通常用符號ω表示。

變形橢圓——地球表面的無限小的圓在投影中通常不能保持原來的形狀和大小，而是被投影成大小不一的圓或各種形狀、大小的橢圓，統(tǒng)稱為變形橢圓，如圖3-4所示。

圖 3.5 變形橢圓

通常，可以根據(jù)變形橢圓判斷投影的變形情況。若投影為大小不等的圓，見圖3-4（a），a=b，則該投影為保角投影；若投影為等面積異形橢圓，見圖3-4（b），a·b=r2，則該投影為等面積投影；若投影為不等面積異形橢圓，見圖3-4（c），則為任意投影，其中若橢圓的某一半軸等于微分圓的半徑，如b=r，則為等距投影。從變形橢圓還可以看出，變形橢圓的長、短半軸為極長比，長、短軸的方向?yàn)橹饕较颉?/p>

等變形線是將投影上變形值相等的點(diǎn)連成的線，如面積比等值線、最大角變形等值線等。等變形線繪制在地圖投影草圖上，可以直觀地評價(jià)地圖投影的變形分布情況和投影的質(zhì)量。在制圖實(shí)踐中，為了得到測繪區(qū)域內(nèi)變形較小、變形分布最均勻的投影，提出了使投影上的等變形線與測繪區(qū)域輪廓形狀基本一致的要求，并以此作為投影選擇的基本原則。

3.2.3 地圖投影的分類

地圖投影的分類方法有很多種，一般來說，可以按照外部特征和內(nèi)部性質(zhì)進(jìn)行分類，下面介紹幾種常用的地圖投影分類方法。

根據(jù)地圖投影變形（固有特征）進(jìn)行分類

根據(jù)地圖投影中可能引入的扭曲性質(zhì)，它可以分為保角投影、等面積投影和任意（包括等距）投影。

（1）等角投影：地球表面的無窮小圖形投影后保持相似，或兩微分線段所成的夾角投影后保持相似，或兩微分線段所成的夾角投影后保持不變，這種投影稱為等角投影（也叫正交投影）。等角投影中，微分圓投影后仍為圓，面積隨著點(diǎn)位置（緯度增加）的變化而發(fā)生較大變形，如圖3-5所示。

（2）等面積投影：地球表面圖形投影后面積不變，這種投影叫等面積投影。等面積投影中，微分圓變成不同形狀的橢圓，但變形后的橢圓面積保持相等，只有角度變形較大，如圖3-5所示。

圖 3.6 變形橢圓的三種不同投影

等距矩形投影 等距投影 等面積投影

（3）任意投影：既不具有等角性，又不具有等面積性的投影稱為任意投影。在任意投影中，如果沿某一主方向的長度比等于1，即a=1或b=1，則這種投影稱為等距投影。

根據(jù)投影面相對于地球表面的相對位置進(jìn)行分類

地圖投影是先將不可展橢球投影到可展曲面上，再將曲面展開成平面，即可得到所需要的投影。常用的可展曲面有圓錐面、圓柱面和平面（曲率為零的曲面），相應(yīng)地可得到圓錐投影、圓柱投影和方位投影。同時(shí)，根據(jù)投影面與地理軸線的相對位置，又可分為正交投影（兩極在兩極，或投影面中心線與地軸一致）、橫交投影（兩極在赤道上，或投影面中心線垂直于地軸）和斜投影（兩極既不在兩極，也不在赤道上，或投影面中心線與地軸傾斜）。這種分類可以用圖3-6表示。 在此分類中，當(dāng)投影面與地球表面相切時(shí)，稱為切投影，當(dāng)投影面與地球表面相交時(shí)，稱為割投影。

圖3.7 投影方式示意圖

根據(jù)正交投影中經(jīng)緯網(wǎng)的形狀進(jìn)行分類

根據(jù)此符號，投影可分為圓錐投影、圓柱投影、方位投影、偽圓錐投影、偽圓柱投影、偽方位投影和多圓錐投影。

（1）圓錐投影：在投影中，緯度是同心圓弧，經(jīng)度是圓的半徑（見圖 3-7C，右），經(jīng)度與緯度之間的夾角與經(jīng)度差成比例。

投影按變形性質(zhì)可分為等角、等積和任意（主要為等距）圓錐投影。等角圓錐投影又稱蘭伯特（）等角圓錐投影；軸等積割圓錐投影又稱阿爾伯斯（）投影。

（2）圓柱投影：在投影中，緯線是一組平行直線，經(jīng)線是另一組與緯線垂直的平行直線，相鄰兩經(jīng)線之間的距離相等（圖3-7C左）。

投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意（包括等距）圓柱投影。等角圓柱投影又稱墨卡托（）投影，廣泛應(yīng)用于航海圖和小比例尺區(qū)域地圖。等角橫軸橢圓圓柱投影又稱著名的高斯-克呂格投影，等角橫軸橢圓圓柱投影又稱通用橫軸墨卡托（UTM）投影，在編制大比例尺地形圖時(shí)應(yīng)用廣泛。

（3）方位投影：在投影中，緯度為同心圓，經(jīng)度為圓的半徑（圖3-7C右），經(jīng)度之間的夾角等于地球表面對應(yīng)的經(jīng)度差。

此投影可分為非透視方位投影和透視方位投影。非透視方位投影按變形性質(zhì)又可分為等角方位投影、等積方位投影和任意（包括等距）方位投影。等積方位投影又稱蘭伯特（）等積方位投影。等距方位投影又稱波斯托（）投影。

（4）偽圓錐投影：在投影中，緯線為同心圓弧網(wǎng)校頭條，經(jīng)線為相交于圓心的曲線（圖3-7B2右）。

圖 3.8 正交投影中的經(jīng)緯網(wǎng)形狀

（5）偽圓柱投影：在投影中，緯線是一組平行直線，而經(jīng)線是某種曲線（圖3-7B2左）。

（6）偽方位投影：在投影中，緯線是同心圓，經(jīng)線是相交于圓心的曲線（圖3-7B2右）。

（7）多圓錐投影：在該投影中，緯線是中心位于中心直徑線上的共軸圓弧，經(jīng)線則是關(guān)于中心直徑線對稱的曲線（圖3-7A右）。

3.2.4 地圖投影與GIS的關(guān)系

地圖是地理信息系統(tǒng)的主要數(shù)據(jù)來源，也就是說地理信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)大部分來自于各類地圖數(shù)據(jù)。不同的地圖數(shù)據(jù)根據(jù)其制圖的目的和需要，采用不同的地圖投影。這些地圖數(shù)據(jù)在進(jìn)入計(jì)算機(jī)時(shí)，首先要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，采用通用的地理坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系作為參照系，記錄和存儲各種信息要素的地理位置和屬性，以保證同一地理信息系統(tǒng)內(nèi)部（甚至不同地理信息系統(tǒng)之間）的信息數(shù)據(jù)能夠進(jìn)行交換、對齊和共享，否則后續(xù)一切基于地理位置的分析、處理和應(yīng)用都將無從談起。

地圖投影對地理信息系統(tǒng)的影響滲透到地理信息系統(tǒng)構(gòu)建的各個(gè)環(huán)節(jié)，它們之間的關(guān)系如圖3-8所示。

圖3.9 地圖投影與GIS關(guān)系

3.2.5. GIS中地圖投影的配置和設(shè)計(jì)

通過對國內(nèi)外各種地理信息系統(tǒng)的分析可以發(fā)現(xiàn)，各類地理信息系統(tǒng)中投影系統(tǒng)的配置和設(shè)計(jì)一般具有以下特點(diǎn)：

各國GIS采用的投影系統(tǒng)與該國基本比例尺地圖系列采用的投影系統(tǒng)一致；

地理信息系統(tǒng)中各種比例尺的投影系統(tǒng)與相應(yīng)比例尺的主信息源地圖所使用的投影一致；

各地區(qū)地理信息系統(tǒng)中的投影系統(tǒng)與本地區(qū)適用的投影系統(tǒng)一致；

各類地理信息系統(tǒng)一般只采用一種或兩種投影系統(tǒng)，以保證地理定位框架的統(tǒng)一。從國外一些國家的地理信息系統(tǒng)配置也可分析出上述特點(diǎn)。

加拿大地理信息系統(tǒng)（CGIS）是世界上第一個(gè)公認(rèn)的地理信息系統(tǒng)。該系統(tǒng)的主要信息來源是12000幅各種用途的土地利用圖，比例尺系列為1：、1：、1：。這些土地利用圖是利用一系列與地理底圖比例尺相同的地形圖編制的，采用與加拿大國家地形圖系列一致的地圖投影系統(tǒng)，即當(dāng)大于或等于1：時(shí)，采用通用橫軸墨卡托投影（UTM投影），當(dāng)小于1：時(shí)，采用正交等角圓錐投影（投影）。CGIS以UTM投影作為系統(tǒng)的地理基礎(chǔ)，考慮到地圖數(shù)量和使用的方便性，選擇1：作為系統(tǒng)的主要比例尺。 雖然小于1：50萬的地圖精密定位信息較少、可量測性較差，但鑒于CGIS數(shù)據(jù)處理子系統(tǒng)具有自動拼接形成較大區(qū)域數(shù)據(jù)庫的能力，且CGIS分國家、省、市、地方四個(gè)層次進(jìn)行存儲、分析、檢索和輸出，且加拿大全國基本比例尺地圖多采用投影，因此，系統(tǒng)也配備了投影作為中小比例尺數(shù)據(jù)的地理基礎(chǔ)。

日本國土信息系統(tǒng)（JNLIS）是日本規(guī)模最大、最具代表性的國家地理信息系統(tǒng)，其目的是更有效地管理有關(guān)土地的各種數(shù)字信息和圖像信息，其主要數(shù)據(jù)來源是地形圖、土地利用圖、航空照片和衛(wèi)星圖像。日本的地形圖和土地利用圖系列采用UTM投影，衛(wèi)星圖像采用斜軸墨卡托（HOM）投影點(diǎn)在平面上的投影，航空照片采用UTM投影，因此采用UTM投影。

美國地理信息系統(tǒng)建設(shè)的特點(diǎn)是先分散后統(tǒng)一，建設(shè)的系統(tǒng)數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于世界上任何一個(gè)國家。UTM投影是美國國家基本比例尺地圖系統(tǒng)采用的投影系統(tǒng)。州平面坐標(biāo)系是美國國家海洋調(diào)查局在國家大地測量系統(tǒng)中的UTM投影基礎(chǔ)上為各州設(shè)計(jì)的平面坐標(biāo)系。州平面坐標(biāo)系主要以高斯-克呂格投影（等角截面橢圓圓柱投影）和投影為主，部分地區(qū)采用HOM投影。在設(shè)計(jì)州平面坐標(biāo)系時(shí)，已考慮到投影對所在地區(qū)的地理適應(yīng)性，保證了州內(nèi)投影的精度。因此點(diǎn)在平面上的投影，大多數(shù)州際地理信息系統(tǒng)也采用州平面坐標(biāo)系作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

因此，地理信息系統(tǒng)中地圖投影配置的一般原則可以如下給出：

配置的投影系統(tǒng)應(yīng)與相應(yīng)比例尺的國家基礎(chǔ)地圖（基本比例尺地形圖、基本省級地圖或國家地圖集）的投影系統(tǒng)一致；

系統(tǒng)一般最多采用兩套投影系統(tǒng)，一套用于大規(guī)模數(shù)據(jù)的處理和輸入輸出，另一套用于中小規(guī)模的數(shù)據(jù)處理和輸入輸出；

所采用的投影最好是等角投影；

所使用的投影應(yīng)該與網(wǎng)格坐標(biāo)系兼容，即所使用的網(wǎng)格系統(tǒng)應(yīng)該在投影帶中保持完整。