海倫公式及其推廣的幾種替代證明

計算三角形面積在解決問題中的主要應用公式有：

設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊的高，R、r分別為△ABC的外接圓和內切圓的半徑，p = (a +b+c)，則

S△ABC = aha= ab×sinC = rp

= =

其中，S△ABC=是著名的海倫公式三角形海倫公式，記錄在希臘數學家海倫的著作《大地測量學》中。

海倫公式在解決問題中有著非常重要的應用。

1.Heron公式的變形

S=

= ①

=②

= ③

= ④

=⑤

2. Heron公式的證明

證明畢達哥拉斯定理

分析：從三角形最基本的計算公式S△ABC = aha開始，利用勾股定理推導海倫公式。

證明：如圖ha⊥BC所示，根據畢達哥拉斯定理，可得：

x = y =

哈哈 = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此時S△ABC就是變形④，因此得證。

證明2：斯科特定理

分析：根據證明1，利用斯科特定理直接求ha。

斯里蘭卡定理：取△ABC的BC邊任意D點，

若BD=u，DC=v，AD=t。 然后

t 2 =

證明：由證明1可知u = v =

∴ha 2 = t 2 = -

∴ S△ABC = aha = a ×

此時就是S△ABC的變形⑤，因此得證。

證明三：余弦定理

分析：由變形可知②S=三角形海倫公式，并用余弦定理c2=a2+b2-來證明。

證明：證明S =

那么我們需要證明 S =

=ab×sinC

此時S=ab×sinC就是一個三角形計算公式，因此得到證明。

證明4：身份

分析：考慮用S△ABC=rp。 因為出現了三角形的內切圓的半徑，所以可以考慮應用三角函數的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○則

tg·tg + tg·tg + tg·tg = 1

證明：如圖所示，tg=①

tg = ②

tg = ③

根據恒等式，我們得到：

+ + =

代入①②③，可得：

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如圖：a+bc = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x

∴x = 類似地： y = z =

代入④，可得： r 2 · =

兩邊相乘得到：

r 2 · =

兩邊同時開平方，可得：r·=

左邊r·=r·p=S△ABC，右邊是Heron公式①的變形，從而得到證明。

證明5：半角定理

半角定理：tg =

tg =

tg =

證明：根據 tg = = ∴r = × y ①

同理 r = × z ② r = × x ③

①×②×③，可得：r3 = ×xyz

海倫公式，又譯作海倫公式，據說是古代錫拉丘茲國王海倫二世發現的一個公式，他利用三角形三邊的長度來計算三角形的面積。 然而，根據克萊恩1908年出版的著作，這個公式實際上是阿基米德發現的，并以托西隆二世的名義發表。

假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c。 三角形的面積S可以通過以下公式計算：

S=\sqrt{s(sa)(sb)(sc)}

以及公式中的s：

s=\frac{a+b+c}{2}

由于任何n邊多邊形都可以分為n-2個三角形，因此可以使用Heron公式作為求多邊形面積的公式。 例如，測量土地面積時，不需要測量三角形的高。 您只需測量兩點之間的距離，就可以輕松得出答案。

[編輯]證明

與Helen在他的書《》中最初的證明不同，這里我們使用三角公式和公式的變換來證明它。假設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C ，則余弦定理為

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

從而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}}{2ab}

因此三角形的面積S為

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)

= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= \sqrt{s(sa)(sb)(sc)}

最終的等號部分可以通過因式分解得出。