1.雙重對稱性

如果 f(x) 的圖形有兩種對稱模式，則它一定是周期函數。 我們有以下結論：

(1) 若f(x)關于x=a對稱，且關于x=b對稱(a≠b)，則f(x)是周期函數，周期為2|ab|；

(2) 若f(x)關于點(a,0)對稱，且關于點(b,0)對稱(a≠b)，則f(x)是周期函數，周期為2| ab|;

(3) 若f(x)關于點(a,0)對稱且關于直線x=b(a≠b)對稱，則f(x)是周期為4|ab|的周期函數。

另外，對稱性本身還有以下結論，應該牢記：

(1) 若f(x)關于直線x=a對稱，則f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(ax)成立；

(2) 如果 f(x) 關于點 (a, 0) 對稱，則 f(x)=-f(2a-x) 或 f(x+a)=-f(ax) 成立。

解：（1）解一：f(x)的像關于直線x=-1和直線x=2對稱，所以f(x)是周期函數，周期為6，則f (15)=f(15-6×2)=f(3)=10。

解2：根據f(x)關于直線x=-1和直線x=2對稱的圖像，有f(-1+x)=f(-1-x)，f( 2+x)=f( 2-x)，則 f(x)=f(-2-x)=f(6+x)，因此 f(x) 是周期為 6 的周期函數，f(15) =f(15-6×2)=f(3)=10。

(2) 解法1：f(x)的圖像關于點(-1, 0)和(2, 0)對稱，所以f(x)是周期為6的周期函數，則f(15 )=f(15-6×2)=f(3)=10。

解二：根據圖像關于點(-1, 0)和(2, 0)的對稱性，可得f(x)=-f(-2-x)，f(x)=-f(4 -x)，則f(-x)=-f(x-2)，f(-x)=-f(x+4)，即f(x-2)=f(x+4)，我們得到f(x)的周期是6，所以f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10。

(3) 解一：f(x)的像關于點(-1, 0)和直線x=2對稱，所以f(x)是周期為12的周期函數，則f( 15)=f(3)=10。

解二：函數y=f(x) (x∈R)的圖形關于點(-1, 0)和直線x=2對稱，則f(x)=-f(-2- x), f(2+x)=f(2-x), 則 f(-x)=-f(x-2), f(-x)=f(4+x), 所以 f(x- 2）+f(x+4)=0，根據知識點1.2，f(x)是周期為12的周期函數，則f(15)=f(3)=10。

小結：如果函數關于兩條直線對稱，或者關于x軸上的兩點對稱奇函數的性質，則周期是對稱直線橫坐標或對稱中心之差的兩倍； 如果函數關于直線和 x 軸上的點對稱，則周期是對稱直線與對稱中心橫坐標之差的四倍。

另外，對稱性和周期的表達形式非常接近，記憶時很容易混淆。 以下推論可能有助于記憶：

示例 2. 假設對于任何實數 x，函數 f(x) 滿足 f(2+x)=f(2-x)、f(7+x)=f(7-x) 和 f(x)=0 ，判斷函數f(x)的圖形與x軸在區間[-30,30]內有多少個交點？

解：由題假設函數f(x)的圖形關于直線x=2和x=7對稱，由函數的性質可知f(x)是一個周期為10. 在周期區間 [0,10) 上，f(x)=0，f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0 并且 f(x) 不能be 常數為零奇函數的性質，因此 f(x) 圖像與 x 軸至少有兩個交點。 區間[-30,30]有6個周期，因此在閉區間[-30,30]內f(x)圖像與x軸之間至少有13個交點。

2.奇偶函數的另一個對稱軸（或對稱中心）

如果R上定義的函數是奇函數或偶函數，并且有另一個對稱軸或中心，那么這樣的雙對稱函數一定是周期函數，并且具有以下規則：

解： (1) f(x)的圖形關于直線x=0和直線x=2對稱。 可見f(x)是偶函數，f(x)是周期函數，周期為2×2=4，則f(17)=f(17-4×3)=f( 5)=26。

(2) f(x) 的圖像關于原點和 (2, 0) 對稱。 可見f(x)是奇函數，f(x)是周期函數，周期為2×2=4，則f(17)=f(17-4×3)=f( 5)=26。

(3) f(x)的像關于原點和直線x=1對稱。 可見f(x)是奇函數，f(x)是周期函數，周期為4×1=4，則f(15)=f(15-4×3)=f( 3)=-f(-3)=-f(5)=-26。

(4) 函數y=f(x) (x∈R)的圖形關于直線x=0和點(1, 0)對稱。 可見f(x)是偶函數，而f(x)是周期函數，周期為4，則f(15)=f(15-4×3)=f(3)=f (-3)=f(5)=26。

3.平移對稱性

(1) 若f(x+a)是偶函數，則f(x)的圖形關于直線x=a對稱；

(2) 若f(x+a)為奇函數，則f(x)的像關于點(a, 0)對稱

例 4. f(x) 的定義域為 R。如果 f(x+1) 和 f(x-1) 都是奇函數，則 ( )

A. f(x) 是偶函數 B. f(x) 是奇函數 C. f(x)＝f(x+2) D. f(x+3) 是奇函數

解：∵f(x+1)是奇函數，則其對稱中心為(1,0)； 同理，f(x-1)是奇函數，容易知道f(x)有一個對稱中心(-1,0)。

由雙重對稱性推導出f(x)是周期函數，周期T=2|1+1|=4。

下面我們來分析幾個選項。

如果f(x)是偶函數，那么根據第二點的結論，周期為T=4|1-0|=4，滿足條件。

如果f(x)是奇函數，那么根據第二點的結論，周期T=2|1-0|=2，則4也是f(x)的周期，滿足條件；

因此，f(x)可以是奇函數，也可以是偶函數，且不包括A和B； 如果 f(x) 是偶函數，周期為 4，則 C 不正確。

由于f(x)的周期為4，所以f(x+3)=f(x-1)是奇函數，因此D一定是正確的。

摘要：本題是一道高考題。 其實得到D作為正確答案比較容易，但是排除A、B、C就會麻煩一點。其實f(x+a)是一個偶函數，相當于移動f(x) 的圖像向左移一個單位以獲得偶函數。 因此，x=a必定是f(x)的對稱軸； f(x +a) 同樣是奇函數。