可以確定行列式和跡等式； 無法判定等級相等，無法判定A～B（相似），A與B一致。

① 因?yàn)閨A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以|A|=|B|，tr(A)=tr(B)。

② 具有特征值λ并不意味著A可以~Λ。

③若A～Λ，則可推導(dǎo)出r(A)=非0λ數(shù)。

④ 合約要求實(shí)數(shù)對稱矩陣（考研范圍內(nèi)），不保證λ相等。

【反例】：本例中，r(A)≠r(B)，同樣不可對角化，也不是實(shí)對稱矩陣（不可收縮）。

1.1 實(shí)對稱矩陣A和B的特征值相同

實(shí)對稱矩陣一定是可對角化的，因此可以看出A和B相似于同一個(gè)對角矩陣，即A~Λ~B。

并且由于真實(shí)對稱性，逆=轉(zhuǎn)置，這也是同一個(gè)契約。

2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 2.1 標(biāo)準(zhǔn)型是否唯一？

不是唯一的。在這種情況下

尋求

所以

，標(biāo)準(zhǔn)類型的結(jié)果會(huì)有所不同。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)形式和等級

標(biāo)準(zhǔn)型的項(xiàng)數(shù)是一定的，這個(gè)數(shù)就是非零系數(shù)，即正負(fù)慣量指數(shù)； 正負(fù)慣量指數(shù)之和即為二次形式的秩，即

。

注：如果A可以類似地對角化，那么秩就是非零特征值的個(gè)數(shù)（正負(fù)慣量指數(shù)之和）。

2.3 標(biāo)準(zhǔn)類型和特征值

。

可逆線性變換不會(huì)改變正負(fù)慣量指數(shù)。 變換后得到的標(biāo)準(zhǔn)形式的對角線元素不一定是特征值！ 雖然二次形式可以通過可逆線性變換（組合方法）轉(zhuǎn)化為這樣的對角矩陣，但是標(biāo)準(zhǔn)形式有很多，即這樣的對角矩陣有很多； 特征值是確定的，因此這些可逆線性變換對于任何得到的標(biāo)準(zhǔn)形式都無法得到特征值。

如何求特征值：因?yàn)檫@些標(biāo)準(zhǔn)形式與特征值無關(guān)，所以你不能根據(jù)它們寫出特征多項(xiàng)式。 相反，您應(yīng)該回到原始的二次形式（實(shí)對稱矩陣 A）并使用特征方程。

經(jīng)典陷阱：如果兩個(gè)二次形式的標(biāo)準(zhǔn)形式相同，則兩個(gè)二次形式對應(yīng)的矩陣的特征值相同（

）

2.4 正交變換和特征值

正交變換是在特征值的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，得到的結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式是特征值拼出的對角矩陣。 在眾多可逆線性變換中，只有正交變換得到的標(biāo)準(zhǔn)形式和對角線元素才是特征值。

2.5 兩個(gè)二次形式的標(biāo)準(zhǔn)形式相同

決定什么？ 可以確定慣性指數(shù)相同，即二次平方項(xiàng)的正負(fù)系數(shù)個(gè)數(shù)相等，或者正負(fù)特征值個(gè)數(shù)相同。

不確定什么？ 無法確定特征值。

3. 二次型的正則形式 3.1 正則形式是否唯一？

，因?yàn)閼T性定理決定了，對于同一個(gè)二次型的不同標(biāo)準(zhǔn)型，正負(fù)慣性指數(shù)p和q是一定的兩矩陣相似的充要條件，而正則型的系數(shù)只有1、-1、0。說到這里的唯一性此時(shí)，不考慮二次型變量的階數(shù)。 例如可以規(guī)定寫入順序?yàn)?、-1、0。

3.2 標(biāo)準(zhǔn)型和標(biāo)準(zhǔn)型

同一規(guī)范類型可能有多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型。

同一標(biāo)準(zhǔn)類型不能對應(yīng)多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型。 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型的慣量指標(biāo)是確定的。

3.3 規(guī)范類型和契約（必要條件和充分條件）

兩個(gè)二次形式（或?qū)崒ΨQ矩陣）契約的充分必要條件是它們具有相同的正負(fù)慣量指數(shù)，或者具有相同的秩和正（負(fù)）慣量指數(shù)。

也就是說，對應(yīng)于同一規(guī)范類型的不同矩陣是契約式的。

4. 等價(jià)、相似和契約（★）

（類似，合同條件更高）

相似一定是等價(jià)的，但等價(jià)不一定是相似的。 （矩陣相似度是秩相等的充分但非必要條件）

合同必須具有同等價(jià)值，但平等并不一定意味著合同。 （等價(jià)秩相同但可能不是實(shí)對稱矩陣）

（當(dāng)使用正交變換得到的相似度或契約時(shí)，相似度與契約一致）

正交變換后，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們一定是一致的。

正交變換后，如果兩個(gè)矩陣一致，則它們一定相似。

一般矩陣不適用。但是實(shí)對稱矩陣必須類似對角化，所以當(dāng)特征值相同時(shí)，A~B也相同。

如果它們相似，則它們的特征值相同，因此如果p和q相同，則契約一定是可能的。

如果合約保證正負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)相同，雖然相似度可以對角化，但各自的具體特征值不一定相同，因此不能推論A和B相似。

【例子】對角矩陣2E與單位矩陣E相同，E只能與E相似。顯然2E與E不相似（因?yàn)樘卣髦挡煌?/p>

注意：普通矩陣并沒有說相似度一定有契約，因?yàn)槲覀冎挥性趯ΨQ矩陣的時(shí)候才討論契約。

5.補(bǔ)充實(shí)對稱矩陣A及其逆契約

可逆性以及是否可以類似地對角化

矩陣A是可逆的，其秩為n。 因?yàn)榫仃嚨闹扰c它是否有n個(gè)線性獨(dú)立的特征向量無關(guān)，所以它不一定是類似對角化的。

例如，如果一個(gè)三階矩陣有三個(gè)不同的特征值2,1,0，那么該矩陣一定是對角的，有3個(gè)線性獨(dú)立的特征向量，但它只有2個(gè)非零特征值，所以對角矩陣有排名為 2，而不是 3

再比如兩矩陣相似的充要條件，一個(gè)三階矩陣有3個(gè)不同的特征值2、1、3。那么該矩陣必須可對角化，并且必須有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 它有 3 個(gè)非零特征值，其秩為 3

線性方程組 Ax=0 有 n 個(gè)線性獨(dú)立的解向量。 矩陣A的列是滿秩的，方程組的唯一解為0。我們需要從線性方程組的角度來看是否可以類似地對角化的問題。