13、已知二項式展開式每一項的二項式系數之和為512，其展開式第四項的系數為512。 14、某中學數學競賽訓練班有10人，分為A、B兩組。在階段測試中，兩組結果的莖葉圖如圖所示。 如果A組5個學生的平均分是81，B組5個學生的中位分數是73，那么xy的值為。 15.假設，則“”是“”.16的條件。 在某場足球比賽中，有四支球隊進入半決賽。 半決賽中，對陣、對抗，勝的兩隊進入決賽爭奪冠軍，負的兩隊爭奪季軍。 眾所周知，他們是互相贏的。 概率如下表所示。 獲勝概率 - 0.40.30.8 獲勝概率 0.6 - 0.70.5 獲勝概率 0.70.3 - 0.3 獲勝概率 0.20.50.7 - 那么球隊奪冠的概率為。 3.回答問題：總分70分。 答案應包括書面解釋、證明過程或計算步驟。 17. (12 點) 如圖所示，在正四棱錐中， 、 、 點分別在線段 上。 (1) 如果，證明：⊥； (2) 若二面角的大小為 ，求該線段的長度。 18． （12分） 等差數列的公差為2，分別等于等比數列的第2項、第3項、第4項。 (1)求數列之和的通式； (2) 如果序列滿足，則求序列前2020項的和。 19.（12分）已知函數。 (1) 求解不等式； (2) 將函數的最小值記錄為正實數，滿足它，并驗證：.20。 (12分) 承擔職能。 (1) 求解不等式； (2) 如果實數 和 滿足，則記錄的最大值為： .21。 (12 分) 已知。 (一)此時，解不等式； (二) 若 的最小值為 1，則求 0.22 的最小值。 （10分） 在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（是參數），圓的方程為，以坐標原點為極點，正半軸為極軸，建立極坐標系。 (1) 求極坐標方程

參考答案 1、選擇題：本題共有12題，每題5分，共60分。 每題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。 1.B【分析】

根據題意，可以得到，，答案就解決了。 【詳細解釋】，，解為or（丟棄）。 因此，我們選擇：。 【重點】本題考查等比數列的計算，旨在測試學生的計算能力。 2、A【分析】

將復數化簡，找到復數對應點在復平面上的坐標，即可求解。 【詳細解釋】根據題意，復數z滿足，可以求得，所以復數在復平面上對應點的坐標位于第一象限因此，我選：A 【尋找點】本題主要考察復數的運算以及復數的幾何表示。 記住復數的運算規則并結合復數的表示形式是答案的關鍵。 它側重于推理和計算。 能力，這是一個基本問題。 3.C【分析】

分類討論時，取只有一根陽線的坎、艮、真三卦，并從中取二卦； 只有二??陽線的巽、離、兌三卦取自無陽線的坤三卦。 卦象，計算滿足條件的類型數量，利用經典概念得出解法。 【詳細說明】從圖中可以看出，只有一個陽爻，有坎、艮、震三卦。 從中取兩卦滿足條件，其種類數為 ； 只有二??陽妖的，有巽、離、兌三卦，沒有陽妖的，有坤卦。 此時滿足條件的兩個卦數為 ，所以求的概率為 。 因此，我選擇了：C【發現點】這道題考驗的是經典概念的應用，考驗學生的綜合分析、分類討論、數學運算的能力。 這是一個基本問題。 4.一【分析】

假設，用表達式來表達，就可以得到答案。 [詳細說明] 假設，，。 所以選擇：A 【得分】本題考查向量加減乘運算，需要掌握向量加法的三角形法則。 還有向量減法的幾何意義，這是一個基本問題。 5.C【分析】

可以根據復雜模塊的性質來求解。 【詳解】，故選：C 【要點】本題主要考察復雜模塊的性質，是一道簡單題。 6.一【分析】

準確地畫出圖形，由圖形的對稱性求出P點的坐標，代入圓的方程，得到c與a的關系，求出雙曲線的偏心率。 【詳細說明】 假設軸線相交于一點。 由對稱性可知，軸是具有直徑的圓的半徑，是圓的圓心。 ，然后指向圓，即。 ，故選A。 【亮點】本題是求解圓錐曲線的偏心率。 難度適中。 復習題時，注意半徑或直徑。 自始至終優先使用幾何方法，避免使用代數方法。 計算繁瑣，精度大大降低。 雙曲線的偏心率問題是圓錐曲線。 課文中的關鍵問題需要大量練習，這樣才能事半功倍、信手拈來地解決此類問題。 7.一【分析】

通過 和 雙曲線的定義得到總和（用 表示），然后由余弦定理推導出的齊次方程可以得到偏心率。 【詳細解釋】根據題意，∵，∴是由雙曲線定義的，所以，，in，是由余弦定理得到的，化簡，我們得到。 故選：A。【求點】本題考查如何求雙曲線的偏心率。 解決問題的關鍵是利用雙曲線的定義來表達到兩個焦點的距離，然后利用余弦定理得到的齊次公式。 8.B【分析】

做一個可行區域，對t進行分類，討論分析目標函數的最大值，就可以求解了。 【詳細說明】畫出不等式群所代表的可行域如圖△AOB。 當t≤2時，可行域如圖△OAM所示，此時目標函數z=9x+6y在A(2,0)處獲得最大值。 Z=18不符合題意。 當t>2時，可見目標函數Z=9x+6y在交點()處獲得最大值。 ，此時由題意可得Z=t+16，則可得20≤t+16≤22的解為4≤t≤6，故選擇：B。 【求點】此問題考察線性規劃。 它根據可行域結合目標函數最大值的取值范圍計算參數的取值范圍。 這就涉及到分類討論的思想了。 關鍵是掌握截距型目標函數的最大最優解。 解.9、B 【分析】

初始:,,第一次循環:,,繼續循環; 第二次循環：，，此時條件滿足，循環結束，所以判斷框內填寫的條件即可，因此正整數的最小值為3，因此選擇B。 10. A 【分析]

可以通過余弦定理求出角度，然后通過三角形面積公式計算。 【詳細解釋】由余弦定理，我們得到：，，所以，我們得到網校哪個好，所以△ABC的面積。 所以選：A 【指點】這題主要考察余弦定理。 應用三角形面積公式，考驗學生的計算和解決能力。 11.B【分析】

利用函數的奇偶性，我們可以得到各時刻解析表達式的和，然后構造不等式得到結果。 【詳細解釋】是定義在,上的奇函數。 當,,, 是奇函數時，我們得到： 或； 綜上所述：如果，則解集是。 因此，選擇：。 【興趣點】本題考察函數宇稱的應用，涉及利用函數宇稱求解對稱區間的解析表達式； 容易犯的錯誤是忽略奇函數的含義。 何時、情況。12、C【分析】

使用通項公式求出的系數并使其等于-10。 【詳細解釋】二項式展開式的通稱是，let，get，then，so，解是。 因此，選：C 【指點】本題找出二項式展開式中某一項的系數，是一道很簡單的題，很考驗學生的計算和求解能力。 2、填空題：本題共4題，每題5分，共20分。 13.【分析】

先令可以得到它的展開式的系數之和，然后我們就可以從題意得到，解決它，然后就可以得到它展開式的通項，然后就可以得到答案了。 【詳細解釋】如果，則有，解為，則兩項展開式的通項為，令，則展開式中第四項的系數為，故答案為：[分]本題檢驗二項式定理的應用。 解題時需要區分展開式系數之和與二項式系數之和是基本問題。 14.【分析】

根據莖葉圖中的數據，結合均值和中位數的概念，求出x和y的值。 【詳細說明】 根據莖葉圖中的數據，我們得到： A班5名學生的平均成績為， 解為； 那么B班5名學生的中位數是73。 所以答案是：。 【發現點】本題測試莖葉圖，根據莖葉圖計算中位數和平均值，考驗數據分析能力。 這是一個簡單的問題。 15.必要與充分【分析】

根據充分條件和必要條件的定義，可以判斷兩者之間的條件關系。 【詳細解釋】當時有，所以“”是“”的充分條件。 當時就有了，所以“”是“”的必要條件。 因此“”是“”的充要條件，所以答案是：充要條件。 【要點】本題考查充要條件的判斷。 可以利用定義來判斷，也可以根據命題的真假以及兩個條件形成的逆命題來判斷。 ，也可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷。 這個問題是一個簡單的問題。 16, 0.18 【分析】

根據表中的信息，將B或D分類進入決賽，然后計算A擊敗B或A擊敗C的概率，就可以解決C獲勝的概率。 【詳細說明】從表中的信息來看，可見，擊敗C的概率為； 若B進入決賽，且B擊敗D的概率為，則A擊敗B的概率為； 若D進入決賽，則D擊敗B的概率為，則A擊敗D的概率為； 根據相應的概率公式，則A獲得冠軍的概率為。 所以答案是：0.18 【重點】本題考查獨立事件概率的應用以及求互斥事件概率的方法。 這是一個基本問題。 3.回答問題：總分70分。 答案應包括書面解釋、證明過程或計算步驟。 17. (1) 見分析證明； （2）。 【分析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，設AC和BD的交點為O，則以OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，以OP為z軸正方向建立空間直角坐標系，可以利用空間向量法求解該問題。 (1)只需證明=0即可證明垂直性； (2) 假設= λ，得到M(λ, 0, 1-λ)，然后求平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，用方法 向量之間的夾角相等與二面角或互補。 試題分析：（1）連接AC和BD相交于O點，取OA為x軸正向，OB為y軸正向，OP為z軸正向-axis建立空間直角坐標系。 因為PA=AB=，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,-1,0)，P(0,0,1)。 從=，我們得到N，從=，我們得到M，所以，=(-1,-1,0)。 因為 =0，所以 MN⊥AD(2) 解：因為 M 在 PA 上，所以設 =λ，可得 M(λ, 0, 1-λ)。 所以 =(λ,-1,1-λ), =(0,-2,0)。 假設平面法向量MBD = (x, y, z)，解之一為x = λ-1, y = 0, z = λ，則可得 = (λ-1, 0, λ ）。 因為平面ABD的法向量為=(0,0,1)，所以cos=，即=，解為λ=江蘇高考數學2024，所以M，N，所以MN==。 測試要點：用空間矢量法證明垂直度并求二面角。 18.(1),; （2）。 [分析]

（1）根據題意，同時利用算術數列和幾何數列的通式，可以得到數列和的通式； (2)求出序列的通式，然后用位錯減法得到序列。 將①②的前2020項求和，即此時不滿足上式，。 令③為數列前2020項的和，則為④，由③④，我們得到：, so, so。 【尋找點】本題考察算術數列和等比數列。 通式、性質、錯位減法求和考驗學生的邏輯推理能力、化簡變換能力以及綜合運用數學知識解決問題的能力。 測試的核心能力是邏輯推理和數學運算。 這是一個中等范圍的問題。 19、（1）； (2) 參見分析。 [分析]

（1）通過除法、乘法求解不等式，利用基本不等式得到的最小值，即可證明結論成立。 【詳細解釋】 (1) 那時，到什么時候； 當，從，我們得到，即解，此時。 綜上所述，不等式的解集為： (2)、當且僅當取等號時，所以，。 所以，當且僅當，即等號成立時，所以。 所以，就是這樣。 【尋找點】本題檢驗絕對值不等式的解。 它還測試了基本不等式的使用來證明不等式的成立。 它涉及絕對值三角不等式的應用。 它測試計算解決能力，被歸類為中等。 .20, (1) (2) 證明見分析【分析】

(1)利用零點分割法：、、、求解不等式的解集； (2)首先根據絕對值不等式的幾何意義求解數值，然后利用基本不等式及其變形完成證明。 【詳細解釋】 (1) 此時不等式為， 當解正確時，不等式為江蘇高考數學2024， 當解正確時， 不等式為， 原不等式的解集為 ∴ (2) 當且僅如果立即取等號， ∴, ∴∵, ∴, ∴（當且僅取“”） 同理， ∴∴（當且僅當取“”） 【尋找點】本題檢驗解法絕對值不等式的研究以及使用基本不等式來證明不等式。 難度中等。 （1）絕對值不等式的常用解法：零點分割法、圖像法、幾何顯著性法； (2)利用基本不等式完成證明時，注意解釋取等號的條件。 21.（一）； （二）。 [分析]

(I) 此時，令 Ⅰ) 令，畫出它們的近似圖像如下： 通過或（四舍五入），該點的橫坐標為2。從對稱性來看，該點的橫坐標為-2，所以解集的不平等是。 (II)..取等號為is的條件，即聯立方程組的最小值為。 【劃重點】本題考的是絕對值不等式和基本不等式，屬于中題22，（1）； (二)【分析】

(1)直接利用轉換公式對參數方程、直角坐標方程和極坐標方程進行轉換； (2)利用極坐標方程將其轉化為三角函數來求解。 【詳細說明】 (1) 因為，所以普通方程為，且，， 的極坐標方程，取得最大值。 因此， 的取值范圍為 。 【尋找點】本題主要考查直角坐標方程、參數方程與極坐標方程相互轉換、三角函數取值范圍的求解等知識，考驗學生的計算求解能力。 。